Aa(t i ) t i. Ab(t i ) Abbildung 2.3: Zahlungsströme des Zinsswaps

April 18, 2018 | Author: Herta Beltz | Category: N/A
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KAPITEL 2. LINEARE FINANZPRODUKTE

Aa(t1 )

Aa(ti )

...

t0 t1 t2 Ab(t1 ) ...

ti

Ab(ti )

Aa(tn ) tn

Ab(tn )

Abbildung 2.3: Zahlungsstr¨ome des Zinsswaps

2.2

Swaps

Zins-Swaps Zins-Swaps sind ein beliebtes Produkt an den Kapitalm¨arkten. Das spiegelt sich wider in, bzw. ist begr¨ undbar mit, einer starken Standardisierung des Produktes (ISDA (2002)). Die damit einhergehende hohe Liquidit¨at von Swaps macht deren Preise zu einem wertvollen Gut f¨ ur die empirische Wirtschaftsforschung und sogar f¨ ur die Wirtschaftspolitik. So benutzt die Europ¨aische Zentralbank (EZB) die Preise im Rahmen von volkswirtschaftlichen Analysen (siehe z.B. Durr´e (2006)). Sie bereiten die Steuerung vor, welche die Notenbank u ¨ber den Zinsmarkt einleitet. Wie im Falle der Zinstermingesch¨afte machen Zins-Swaps nur Sinn, wenn die Zinskurve rt nicht als konstant angenommen wird.

Produktbeschreibung Ein Zins-Swap (engl. single currency interest rate Swap“) ist die Vereinbarung ” zweier Parteien, an n aufeinanderfolgenden Terminen Zinszahlungen bez¨ uglich eines Nominals (engl. notional“) A auszutauschen. ”

2.2. SWAPS

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Die Folge der Zahlungen lautet A(a(ti ) + b(ti ))i=1,...,n . Die Einnahmen und Ausgaben werden verrechnet (saldiert) und es fließen nur die Differenzen als wirkliche Zahlungstr¨ome. Wir werden konstante Zeitr¨aume zwischen den Zahlungsterminen, also ti − ti−1 = c ∀ i = 2, . . . , n, annehmen. (Diese Annahmen spiegelt die Realit¨at wider und bel¨auft sich h¨aufig auf drei Monate.) Dann wollen wir die (endliche) Folge auch schreiben als A(ai + bi )i=1,...,n . Hierbei sind Aai die Einzahlungen und Abi die Auszahlungen (also negativ) aus Sicht einer Partei ( Kontrahent“ genannt). Die ” beiden Zahlungstr¨ome nennt man Seiten“ (engl. swap legs“). ” ” Eine Seite ist der variable Zins (engl. floating leg“), dies sei ohne Beschr¨ankung ” die b-Seite. Genauer ist bi der im Zeitpunkt ti−1 aktuelle Zins f¨ ur einen Kredit mit Laufzeit bis ti , z. B. der in Pfund notierte 3-Monats LIBOR oder EURIBOR (der letzte ist in Euro notiert). Es ist also der Zins, der in ti−1 f¨ ur die Vergabe eines Kredites mit Laufzeit c markt¨ ublich ist. Wie im Abschnitt 2.1 bereits implizit angenommen, werden Zinsen u ¨blicherweise am Ende der Kaufzeit gezahlt (zumindest f¨ ur kurzlaufende Kredite) (genannt Endf¨alligkeit“). Die Zahlungsh¨ohe Ab(ti ) ist ” im Zeitpunkt ti−1 , i = 1, . . . , n bekannt. Die Festlegung des Zinssatzes nennt man Fixing“. Beim LIBOR wird der Wert b(ti ) in ti−1 aus den Angeboten von 10 großen ” Banken f¨ ur einen Kredit der Laufzeit c unabh¨angig ermittelt und ver¨offentlicht. Die zweite Seite ist fest. a(ti ) = rf ix ∀ i = 1, . . . , n. Ein Beispiel fu ¨ r den Nutzen: Ein Unternehmen hat fixe Ausgaben (z. B. L¨ohne) und variable Einnahmen (aufgrund variierender Preise des Produkts auf dem Markt, ¨ oder Mieteinnahmen), die idealerweise hoch mit dem variablen Zins wie z. B. bei Ol korrelieren. Dieses m¨ochte den Unterschied zwischen Auszahlung und Einnahme (engl. mismatch“) m¨oglichst gering halten, z. B. um die Liquidit¨at sichern. Dazu ” kann es einen Swap mit einem Kontrahenten, u ¨blicherweise einer Bank, eingehen, ¨ der an ihn den fixen Zins liefert und in dem er den variablen Zins zahlt. Uber die H¨ohe des Nominals kann dann die feste Zahlungsh¨ohe determiniert werden. Das Unternehmen leitet dann die variablen Einnahmen an die Bank weiter (mal weniger als die Ausgaben mal mehr). Von der Bank bekommt es den festen Betrag, den es dann in Form von L¨ohnen aussch¨ uttet. In der Realit¨at ist es so, dass die Bank direkt Ausgleichszahlungen (A(bi + ai )) an das Unternehmen liefern, bzw. verlangen wird.

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KAPITEL 2. LINEARE FINANZPRODUKTE

fix

fix

¾

¾

Markt

Firma -

variabel

Bank -

variabel

Abbildung 2.4: Zahlungsstr¨ome bei der Absicherung mit einem Swap

Die Zahlungsstr¨ome sind schematisch in Abbildung 2.4 dargestellt. Zu Swaps gibt es eine Vielzahl von Publikationen siehe z. B. Miron and Swannell (1992).

Bewertung (engl. pricing“) ” Wie bei den Produkten mit einem Zahlungsstrom wollen wir einen Preis“ bestim” men. Vielmehr wollen wir den fixen Zinssatz so w¨ahlen, dass der Zahlungsstrom f¨ ur beiden Parteien keine Kosten darstellt. Noch genauer wollen wir einen fixen Zinssatz und eine Strategie bestimmen, so dass weder Kosten, noch Gewinne, noch Risiko entstehen. Der Swap hat in t0 dann den Marktwert von 0. Es wird nur ein Vertrag eingegangen, ohne Zahlung von Pr¨amien. Wenn wir uns an die Termingesch¨afte zur¨ uck erinnern, dann gilt f¨ ur diese genauso: Bei Vertragsabschluss fließt kein Geld. Das Gesch¨aft ist wertlos! Um den fixen Zins herauszufinden, bei dem der Wert des Swaps verschwindet, m¨ ussen wir zun¨achst den Swap in Abh¨angigkeit eines unbekannten“ fixen Zin” ses bewerten. Wie bekannt, erfolgt die Bewertung von einer zuk¨ unftigen Zahlungen durch Abdiskontieren (siehe Abschnitt 1.1). Mehrere Zahlungen in der Zukunft sind

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2.2. SWAPS

aus heutiger Sicht, also in t0 , gemeinsam zu bewerten als Summe der Barwerte. Da diese Eigenschaft wichtig ist, formulieren wir sie als Definition. Definition 2.2.1 Bezeichne rc den Zins f¨ ur eine Anleihe mit Laufzeit c und dfi = e−r(ti −t0 ) (ti −t0 ) den Diskontfaktor einer Zahlung zum Zeitpunkt ti betrachtet aus t0 . Dann ist der Barwert BW (d) zum Zeitpunkt t0 einer Zahlungsfolge d mit Zahlungen di zu den Zeitpunkten ti , i = 1, . . . , n die Summe der Barwerte der Einzelzahlungen. BW ((di )i=1,...,n ) :=

n X

dfi di .

i=1

Bemerkung: Die di m¨ ussen hierf¨ ur nicht deterministisch (also ex ante bekannt) sein, sondern k¨onnen auch Zufallsvariablen sein. Theorem 2.2.1 F¨ ur zwei zeit-konkruente Zahlungsfolgen ν und µ gilt die Additivit¨at des Barwerts. Beweis: BW ((νi + µi )i=1,...,n ) =

n X

dfi (νi + µi )

i=1

=

n X i=1

dfi νi +

n X

dfi µi

i=1

= BW ((νi )i=1,...,n ) + BW ((µi )i=1,...,n ). Das Grundproblem beim Swap ist nun, dass die Zahlungen der variablen Seite, bis auf b1 , noch unbekannt sind. Variante 1: (Methode der fiktiven Nominale (engl. included notionals“)) Man kann ” sich den Swap als Summe zweier Kredite vorstellen, die eine endf¨allige Tilgung haben aber periodische Zinszahlungen. Die Zerlegung (engl. stripping“) ist in den ” Abbildungen 2.5, 2.6 und 2.7 dargestellt. Definiere die summarische Folge von Zahlungen ( 0 i=0 si = A(ai + bi ) i = 1, . . . , n

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KAPITEL 2. LINEARE FINANZPRODUKTE

an A A

a1 A a2 A

−A b1 A b A 2

... ...

an−1 A

A

bn−1 A −A bn A

Abbildung 2.5: Zahlungsstr¨ome des gew¨ohnlichen Zinsswaps

an A

a1 A a2 A

...

an−1 A

A

−A

Abbildung 2.6: Das fixe Bein des Swaps sf ix

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2.2. SWAPS

A

b1 A

...

bn−1 A

b2 A

−A bn A

Abbildung 2.7: Das variable Bein des Swaps svar

(siehe Abbildung 2.5). Sie ist additiv zerlegbar in

sfi ix

 i=0   −A = Aai i = 1, . . . , n − 1   A + an A i = n

(siehe Abbildung 2.6). und die Zahlungsfolge

svar i

 i=0   A = Abi i = 1, . . . , n − 1   −A + bn A i = n

(siehe Abbildung 2.7).

und sfi ix zun¨achst separat bewerten + sfi ix . Wir k¨onnen also svar Jetzt ist si = svar i i und dann, wegen Theorem 2.2.1, zusammensetzen mit BW (s) = BW (svar ) + BW (sf ix ). 1. BW (svar )

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KAPITEL 2. LINEARE FINANZPRODUKTE

Betrachte folgende Strategie: in t0 :

A erhalten, A anlegen zu Zins |b1 | (m¨oglich aufgrund Definition von bi ) f¨ ur t0 bis t1

in t1 :

A + A|b1 | zur¨ uckbekommen A|b1 | auszahlen A zu Zins |b2 | f¨ ur t1 bis t2 anlegen

.. .

in tn : A + A|bn | zur¨ uckbekommen A + A|bn | auszahlen Somit hat die betrachtete Partei weder Kosten noch Ertr¨age oder Risiken, sie hat das Gesch¨aft perfekt repliziert. ⇒ BW (svar ) = 0 2. BW (sf ix ) Da wir die festen Zahlungen jetzt schon kennen - sie werden nicht erst in der Zukunft bekannt - k¨onnen wir den Zahlungstrom abdiskontiert summieren. (Bemerke: Wir gehen auch hier von einer nicht notwendigerweise flachen Zinskurve rc aus.) BW (sf ix ) = −A + A

n X

ai e−r(ti −t0 ) (ti −t0 ) + Ae−r(tn −t0 ) (tn −t0 )

i=1

= −A + Arf ix

n X

e−r(ti −t0 ) (ti −t0 ) + Ae−r(tn −t0 ) (tn −t0 )

i=1

Also ist BW (s) = 0 ⇔ BW (sf ix ) = 0 ⇔ rf ix = (A − Ae−r(tn −t0 ) (ti −t0 ) )(A

n X

e−r(ti −t0 ) (ti −t0 ) )−1

i=1

−r(tn −t0 ) (ti −t0 )

1 − dfn 1−e . = Pn ⇔ rf ix = Pn −r (ti −t0 ) (ti −t0 ) df e i i=1 i=1

Variante 2 (Methode der Approximation mit Terminzinsen (engl. implied forward ” rates“)) Als zweiten Ansatz k¨onnen wir die bi , i ≥ 2 auch sch¨atzen. Hierf¨ ur eignen sich die Terminzinsen, die wir f¨ ur das Zinstermingesch¨aft bestimmt haben. Sie stellen (heuristisch betrachtet) Sch¨atzer der dann aktuellen Zinsen dar. Denn wenn in t0 die

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2.2. SWAPS

Erwartung der zuk¨ unfigen Zinsen f¨ ur den Zeitraum t1 bis T von den analytischen Terminzinsen (Formel 2.1) abweicht, entsteht ein Kauf- oder Verkaufsbestreben. Dieser Nachfrage- oder Angebots¨ uberschuss beeinflusst dann den tats¨achlich gehandelten Terminzins (und damit auch die aktuelle Zinskurve), solange bis sich ein Gleichgewicht einstellt. Es ergibt sich: d (s) = A BW

n X

ai e−r(ti −t0 ) (ti −t0 ) + A

i=1

n X

ˆbi e−r(ti −t0 ) (ti −t0 )

i=1

mit ˆb1 = b1 = −r(t1 −t0 ) schon bekannt und (siehe (2.1)) ˆbi = − r(ti −t0 ) (ti − t0 ) − r(ti−1 −t0 ) (ti−1 − t0 ) ti − ti−1 d (s) = 0, genau dann wenn Also ist BW Pn r(ti −t0 ) (ti −t0 )−r(ti−1 −t0 ) (ti−1 −t0 ) rf ix = = mit r(0) := 0.

i=1

Pn

ti −ti−1 Pn −r(t −t ) (ti −t0 ) 0 i i=1 e

f¨ ur i = 2, . . . , n.

e−r(ti −t0 ) (ti −t0 )

f i=1 r(ti −ti−1 ) dfi Pn i=1 dfi

Bemerkung 1: Dass sich die Preise, d. h. die fixen Zinsen der beiden besprochenen Methoden unterscheiden, liegt, neben dem unterschiedlichen Ansatz, insbesondere an der approximativen Verwendung des stetigen Zinses, die bei der Methode 1 nur beim Abdiskontieren der fixen Zahlungen, nicht aber bei der Bewertung der variablen Seite verwendet wurde. Bemerkung 2: Es ist ein typisches Beispiel, dass auf der einen Seite des Swaps ein fixer Zins gezahlt wird, es ist aber nicht notwendig. Es gibt viele andere M¨oglichkeiten die Zahlungen zu spezifizieren. So werden bei einem anderen (in der Praxis h¨aufig vorkommenden) Swap, dem Basis-Swap (engl. basis swap“) Zinsen zu unter” schiedlichen Laufzeiten ausgetauscht, z. B. drei-Monats- gegen halb-Jahres-Zinsen. Hierbei erweist sich die Bewertungsvariante 2 als universell einsetzbarer. So k¨onnen beim Basis-Swap einfach die Terminzinsen auf beiden Seiten eingesetzt werden und die Zahlungen wieder abdiskontiert werden. Wir werden diesen Fall nicht genauer betrachten.

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KAPITEL 2. LINEARE FINANZPRODUKTE

Devisen-Swaps Devisenswaps (engl. cross-currency swap“) haben als Produktidee den Austausch ” von Zinsen in verschiedenen W¨ahrungen. So wird der drei-Monats LIBOR z. B. mit dem drei-Monats EURIBOR getauscht. Die Zahlungen der LIBOR-Seite erfolgen in Pfund und die der EURIBOR-Seite erfolgen in Euro. Hierbei muss allerdings das Nominal am Anfang und am Ende des Gesch¨afts den Besitzer wechseln. Als Bewertungsidee, die - wie wir gesehen haben - typisch ist f¨ ur komplexere Produkte, setzen wir das Produkt (additiv) aus einfachen Produkten zusammen und addieren die Preise. Hierbei kann der Swap in zwei einfach Zins-Swaps, einen in Pfund und einen in Euro, und ein f¨ ur den Nominaltausch am Anfang der Laufzeit (spot) und ein W¨ahrungstermingesch¨aft, f¨ ur die Endzahlungen, zerlegt werden. Alternativ kann man den Devisen-Swap auch in zwei Kredite zerlegen.

Weitere komplexe Zinsderivate Als Beispiele f¨ ur weitere komplexe Zinsderivate kommen in der Praxis vor: • Swaptermingesch¨aft (engl.: forward (starting) swap“) ” • Swaption: eine Option, einen Swap zu einem zuk¨ unftigen Termin einzugehen • K¨ undbarer Swap (engl.: callable swap“): Swap mit einseitigem K¨ undigungs” recht • Swap mit Martwertausgleich (engl.: break clause“): Hierbei wird der Markt” wert zu festgesetzten Terminen ausgeglichen um Kreditrisiko zu vermindern • Kredit-Swaps (engl.: credit default swaps (CDS)“) bei denen Pr¨amien flie” ßen, solange bis ein Referenzaktivum insolvent wird und dann das um die Wiedereinbringungsquote reduzierte Nominal ausgezahlt wird. Bei all diesen Produkten wird bei der Bewertung versucht, sie als Summe einfacherer Produkte darzustellen. So kann z. B. der zu t1 k¨ undbare Swap als Summe eines

2.2. SWAPS

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Swaps (mit Laufzeit bis T ) und einer Swaption mit Aus¨ ubungszeit t1 und Laufzeit T dargestellt werden. Die Swaption kann mit Hilfe der Optionspreistheorie f¨ ur Aktienoptionen, der wir uns jetzt widmen wollen, approximiert werden.

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