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MATEMÁTICA Álgebra Linear Parte 20

Profª. Danielle Hepner

Álgebra Linear – Parte 20 Subespaço

W é um subespaço de V se o próprio W for um espaço vetorial sobre K em relação às operações de V de soma de vetores e multiplicação por escalar. W é dito subespaço se: a) O vetor nulo pertence a W; b) Dados quaisquer u, v Є W e r Є K

(i) u+v Є W (ii)Ru Є W

Álgebra Linear – Parte 20 De (i) e (ii), temos que:

Para quaisquer u,v Є W, a,b Є K, a combinação linear au+bv Є W. Automaticamente, sendo V um espaço vetorial, ele possui dois subespaços: o conjunto {0} e o espaço V todo.

Álgebra Linear – Parte 20 ex: V = R³ U é o conjunto de todos os vetores de R³ tal que: U = {(a,b,c) : a=b=c} Temos que, por exemplo, (1,1,1), (-2,-2,-2) são vetores de U. Geometricamente, U é a reta que passa pela origem e pelo ponto (1,1,1). Passa pela origem pois (0,0,0) Є U uma vez que 0=0=0.

Agora, se temos u = (a,a,a) e v = (b,b,b) e um escalar r Є K, podemos afirmar que u + v Є U pois u+v = (a+b,a+b,a+b) e, além disso, ru Є U pois ru = (ra,ra,ra)

Álgebra Linear – Parte 20 Base Um conjunto S = {u1, u2, u3, ..., um} de vetores é uma base de V se tiver as duas propriedades a seguir: a) S é linearmente independente b) S gera V S é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores u1, u2, ..., um de V

a1u1 + a2u2 + a3u3 + ... + amum = 0 Se a1=0, a2=0, a3=0, ..., am=0 for a única solução, então os vetores u1, u2, u3, ..., um são linearmente independentes

Álgebra Linear – Parte 20 Em outras palavras:

Um conjunto S = {u1, u2, u3, ..., um} de vetores é uma base de V se cada v Є V pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base.

Álgebra Linear – Parte 20 Dimensão da Base

V é um espaço vetorial tal que alguma base tem m elementos e outra base tem n elementos. Então, m=n. Um espaço vetorial tem dimensão finita n ou é n-dimensional quando dimV = n Se um espaço vetorial V não possui base finita, então dizemos que V tem dimensão infinita. Se W é um subespaço do espaço vetorial V tal que dimV = n, então W ≤ n.

Álgebra Linear – Parte 20 Decida se os vetores formam bases de R³ a) (1,1,1), (1,0,1) b) (1,2,3), (1,3,5), (1,0,1), (2,3,0) c) (1,1,1), (1,2,3), (2,-1,1) d) (1,1,2), (1,2,5), (5,3,4)

Álgebra Linear – Parte 20 Estenda {u1=(1,1,1,1), u2=(2,2,3,4)} a uma base de R4

Álgebra Linear – Parte 20 Base canônica

e1=(1,0,0,...,0), e2=(0,1,0,...,0), en=(0,0,0,...,1) de Kn são vetores linearmente independentes e qualquer vetor u=(a1, a2, ..., an) de Kn pode ser escrito

como combinação linear desses vetores. v = a1e1+a2e2+...+anen